Вычисление собственных значений и сингулярных чисел

Во многих областях математики и прикладных наук большое значение имеют средства для вычисления собственных значений (собственных чисел, характеристических чисел, решений векового уравнения) матриц, принадлежащих им векторов и сингулярных чисел. В новой версии MATLAB собственные вектора нормализуются, иначе, чем в предыдущих. Основной критерий: либо V'V=I, либо V'BV=I, где V — собственный вектор, I — единичная матрица. Поэтому результаты вычислений в новой версии, как правило, отличаются. Ниже дан список средств решения векового уравнения, реализованных в системе MATLAB.

Несимметрические матрицы могут быть плохо обусловлены при вычислении их собственных значений. Малые изменения элементов матрицы, такие как ошибки округления, могут вызвать большие изменения в собственных значениях. Масштабирование — это попытка перевести каждую плохую обусловленность собственных векторов матрицы в диагональное масштабирование. Однако масштабирование обычно не может преобразовать несимметрическую матрицу в симметрическую, а только пытается сделать (векторную) норму каждой строки равной норме соответствующего столбца. Масштабирование значительно повышает стабильность собственных значений.

  • [D.B] = balance(A) — возвращает диагональную матрицу D, элементы которой являются степенями основания 2, и масштабированную матрицу В, такую, что B=D\A*D, а норма каждого ряда масштабированной матрицы приближается к норме столбца с тем же номером;

  • В = balance(A) — возвращает масштабированную матрицу В. Пример использования функции balance:

» А=[1 1000 10000:0.0001 1 1000:0.000001 0.0001 1]

А =

1.0е+004 *

0.0001 0.1000 1.0000

0.0000 0.0001 0.1000

0.0000 0.0000 0.0001

» [F.G]=balance(A)

F =

1.0е+004 *

3.2768 0 0

0 0.0032 0

0 0 0.0000

G =

1.0000 0.9766 0.0095

0.1024 1.0000 0.9766

1.0486 0.1024 1.0000

Величина, связывающая погрешность вычисления собственных значений с погрешностью исходных данных, называется числом обусловленности (собственных значений) матрицы и вычисляется следующим образом:

cond(V) = norm(V)*norm(inv(V)) где [V.D]=eig(A).[B=D\A*D, а норма каждого ряда масштабированной матрицы приближается к норме столбца с тем же номером;]

  • eig(A) — возвращает вектор собственных значений квадратной полной или симметрической разреженной матрицы А обычно после автоматического масштабирования, но для больших разреженных матриц (в терминологии MATLAB —

это просто полные матрицы со сравнительно большим [ Но небольшим по сравнению с числом нулей разреженной матрицы. Эталонное число нулей разреженной матрицы данного размера можно вычислить, применив к полной матрице этого же размера функцию sparse. — Примеч. ред. ] числом нулей), а также во всех случаях, где помимо собственных значений необходимо получать и собственные вектора разреженной матрицы, вместо нее рекомендовано использовать eigs(A);

  • eig(A.B) - возвращает вектор обобщенных собственных значений квадратных матриц А и В;

    • [V.D] = eig(A.B) — вычисляет диагональную матрицу обобщенных собственных значений D и матрицу V, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами (правыми собственными векторами), таким образом что А V = В V D;


      Warning: require_once(/var/www/u0033082/data/www/kokos13.ru/www.matlabsoft.ru/3d40b281efbf7e201223173b1a015a7e/sape.php) [function.require-once]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/u0033082/data/www/kokos13.ru/matlabsoft.ru/numpag11/Index12.php on line 307

      Fatal error: require_once() [function.require]: Failed opening required '/var/www/u0033082/data/www/kokos13.ru/www.matlabsoft.ru/3d40b281efbf7e201223173b1a015a7e/sape.php' (include_path='.:') in /var/www/u0033082/data/www/kokos13.ru/matlabsoft.ru/numpag11/Index12.php on line 307